Karen Uhlenbeck rep el Premi Abel del 2019 per les seves aportacions en anàlisi, geometria i física matemàtica

Matemàtiques: L’Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres ha comunicat avui la decisió de concedir el Premi Abel d’enguany a Karen Keskulla Uhlenbeck, “pels assoliments pioners en equacions diferencials parcials geomètriques, teoria de galga i sistemes integrables, i per l’impacte fonamental de la seva feina en anàlisi, geometria i física matemàtica”. El proper 21 de maig, es farà a Oslo la cerimònia on Uhlenbeck rebrà el guardó de mans del rei Harald V de Noruega.

Karen Uhlenbeck

Karen Keskulla va nàixer a Cleveland el 24 d’agost del 1942. Es graduà a la University of Michigan (1964), i continuà els estudis en el Courant Institute of Mathematical Sciences, a la New York University. El 1965 es casà amb un antic company de la University of Michigan, Olke C. Uhlenbeck, i adoptà el nom de Karen K. Uhlenbeck. El matrimoni es traslladà a Harvard, on ell havia obtingut una posició, mentre que ella feia a la Brandeis University el seu mestratge (1966) i la tesi doctoral. El títol de la tesi, supervisada per Richard Palais (*1931), fou “The Calculus of Variations and Global Analysis”, que defensà reeixidament el 1968.

Després de la tesi, treballà al Massachusetts Institute of Technology i a la University of California, Berkeley. Li resultà difícil compaginar la seva carrera amb la del seu marit, degut a les normes de moltes universitats contra el nepotisme, que impedien la contractació simultània de dues persones de parentiu estret. Així doncs, mentre Olke C. Uhlenbeck trobava una posició per als seus estudis de bioquímica de l’ARN a la University of Illinois at Chicago, ella havia d’acceptar una altra en la University of Illinois at Urbana-Champaing (1971). Quan, el 1976, es divorciaren, Karen Uhlenbeck pogué passar a la University of Illinois at Chicago. El 1983 passà a la University of Chicago, i en el 1988 obtingué la càtedra Sid W. Richardson Foundation Regents de la University of Texas at Austin.

Superfícies mínimes i anàlisi de bombolleig

Karen Uhlenbeck, el 1982

En l’anàlisi geomètrica s’apliquen les tècniques d’anàlisi i equacions diferencials a problemes geomètrics i topològics. Els objectes d’estudi de l’anàlisi geomètrica són corbes, superfícies, connexions i camps, que fan de punts crítics de funcionals que representen quantitats geomètriques. Una d’aquestes quantitats geomètriques és l’energia de Dirichlet, que mesura la variabilitat d’una funció. Les superfícies mínimes són punts crítics de l’àrea, mentre que els mapes harmònics són punts crítics de l’energia de Dirichlet.

Per a l’anàlisi global de superfícies mínimes pren rellevància la condició de compacticitat de Palais-Smale. Si es compleix aquesta condició es garanteix l’existència de minimitzadors de funcionals geomètrics, si més no en el cas de dominis unidimensionals com les geodèsies tancades. J. Sacks & K. Uhlenbeck (1981) mostraren la condició de Palais-Smale no es compleix en dominis pluridimensionals, particularment en superfícies bidimensionals. Uhlenbeck i Sacks descrigueren situacions on es violava la condició Palais-Smale en superfícies, i era possible no obstant una seqüència minimitzadora de mapes que convergia fora d’un conjunt finit de punts singulars. Descrigueren el comportament prop de les singularitats com a “bombolles” o “instantons”, que són les solucions estàndards del mapa minimitzador des de l’esfera bidimensional a la varietat problema. Això es podia estendre a dimensions superiors en una teoria de regularitat per a mapes harmònics (Schoen & Uhlenbeck, 1982). El 1984, Daniel S. Freed i Karen K. Uhlenbeck publicaven un volum sobre els instantons en varietats quatridimensionals. Si en superfícies bidimensionals, el conjunt singular consisteix únicament en punts aïllats, en dimensions superiors és un conjunt de co-dimensió 3.

La teoria de regularitat per a mapes harmòniques ajudà a entendre les singularitats de solucions d’equacions diferencials parcials el·líptiques no-lineals. Els instantons i el bombolleig ha trobat aplicacions en problemes matemàtics (problema de Yamabe, corbes pseudoholomòrfiques, etc.) i físics (teoria de cordes).

Teoria de galga i equacions de Yang-Mills

Inspirada per una conferència de Michael Atiyah (1929-2019) a Chicago, Uhlenbeck començà a treballar a final dels 1970 en la teoria de galga. La galga és qualsevol formalisme matemàtic específic que reguli graus de llibertat redundants en un camp de Lagrange. La teoria de Yang-Mills és una teoria de galga basada en l’àlgebra reductiva i compacte de Lie.

Per a l’estudi de les equacions de Yang-Mills, Uhlenbeck estudià les connexions del paquet vectorial sobre una variant riemanniana. A través de la galga, es pot descriure aquesta connexió amb una matriu: les connexions de Yang-Mills són punts crítics de funcionals invariants per a la galga. Amb la galga de Coulomb, Uhlenbeck expressà les equacions de Yang-Mills com un sistema el·líptic (Uhlenbeck, 1982a). Alhora, Uhlenbeck elaborà una teoria de la compacticitat de les connexions amb una curvatura limitada en LP (Uhlenbeck, 1982b). Amb Yau Shing-Tung, treballà sobre les connexions hermitian-yang-mills en paquets vectorials estables (Uhlenbeck & Yau, 1986). Aquestes contribucions trobaren aplicacions en la teoria de cordes heteròtiques per a física de partícules.

Sistemes integrables i mapatges harmònics

Uhlenbeck identificà com els mapatges harmònics de superfícies en espais homogenis pertanyen a famílies parametritzades unidimensionals. Així es poden descriure algebraicament mapatges harmòniques d’esferes en espais grassmannians, que s’hi relacionen amb un sistema integrable dimensional infinit a través de l’àlgebra de Virasoro.

Aquesta entrada ha esta publicada en 1. L'Univers. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *

Aquest lloc utilitza Akismet per reduir el correu brossa. Aprendre com la informació del vostre comentari és processada