La demostració del darrer teorema de Fermat (Andrew J. Wiles, Premi Abel 2016)

Una de les demostracions matemàtiques més conegudes dels darrers temps és la practicada per sir Andrew J. Wiles, de la Universitat d’Oxford, damunt de l’anomenat “darrer teorema de Fermat”. La història és ben coneguda. Per a la fórmula an + bn = cn, hom coneix triplets de nombres enters quan n=1 o n=2, però no se’n coneix cap si n és un nombre enter superior. Es conjectura que no es coneixen perquè no existeixen aquests triplets per a aquests valors enters de n. En el 1637, Pierre de Fermat en el marge d’una còpia de l’Arithmetica afirmava que tenia una prova d’aquesta conjectura, però que el marge era massa estret per encabir-la. Ignorem quina era la prova de Fermat. La conjectura mateixa fou coneguda entre els matemàtics com a “conjectura de Fermat” o “teorema de Fermat” o, més precisament, com el “darrer teorema de Fermat”. Molts intentaren provar aquest teorema, topant-hi amb fortes dificultats, de manera que es guanyà la fama del “problema matemàtic més difícil”. Andrew J. Wiles emprà la conjectura de modularitat per a corbes el·líptiques semistables per fer una complexa demostració del teorema. Tan complexa, que va caldre una llarga revisió abans de donar-la per vàlida. En efecte, si Wiles anuncià la seva prova el 23 de juny del 1993, en la conferència “Elliptic Curves and Galois Representations”, el mes de setembre del 1993 hom hi trobà un error. El 19 de setembre del 1994, Wiles aconseguí de corregir la prova, que fou publicada el maig del 1995, en forma de 150 pàgines, aconseguides després de set anys de recerca. Vint any després, l’Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres ha atorgat el Premi Abel del 2016 a Wiles per aquesta demostració. El guardó, dotat de 6 milions de corones, serà lliurat pel príncep Haakon a Olso el proper 24 de maig.

Pàgina de l’edició bilingüe de l’Arithmetica de Diofant de Clement-Samuel Fermat (1670), que inclou el famós comentari fet pel seu pare trenta-tres anys abans en una edició llatina del mateix llibre

El darrer teorema de Fermat

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividire: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet“.

Aquest és el text que escriu Pèire de Fermat (*Bèumont de Lomanha, Gasconha) en el 1637, quan tindria uns trenta anys en una còpia de l’edició llatina del 1621 de l’Arithmetica de Diofant d’Alexandria, concretament a la pàgina corresponent al problema II.8 d’aquesta obra clàssica. Quan Fermat es va morir, el 12 de gener del 1665, el seu fill, Clement-Samuel heretà aquest volum i, el 1670, va fer una edició augmentada de l’Arithmetica amb els comentaris del seu pare, inclòs el text citat.

Fermat, en els cercles matemàtics, adquirí fama de fer circular conjectures sense demostrar-les. El cert és que sí que es coneix una demostració seva sobre la impossibilitat citada de triplets enters quan n=4. En la correspondència amb Mersenne, Pascal o Wallis, Fermat fa referència al problema quan n=3 o n=4, però mai no esmenta el cas general.

El darrer teorema de Fermat com el problema més difícil.

El nom de “darrer teorema” de Fermat va referència al fet que un problema proposat per Fermat continués encara obert ben entrat el segle XVIII. En el 1816, l’Acadèmia Francesa de Ciències oferí un premi per a un prova general de Fermat per a qualsevol exponent enter. En el 1850, es renovà aquest premi. L’Acadèmia de Brussel·les n’oferí un altre.

En el 1908, Paul Wolfskehl oferí 100.000 marcs d’or a l’Acadèmia de Ciències de Göttingen per a una demostració completa. Entre les normes d’aquest premi hi havia garanties de revisió i que es produís en 100 anys.

La demostració de Wiles

Amb la força bruta de la computació, Harry Vandiver (1954) demostrà la conjectura de Fermat per a tots els nombres primers inferiors a 2521. Samuel Wagstaff (1978) ho va estendre a tots els nombres primers inferiors a 125.000, xifra que en el 1993, s’havia estès a 4.000.000.

L’aproximació de Wiles partia d’una altra conjectura, la de Tanyiyama-Shimura-Weil (1955). Aquest conjectura o teorema de modularitat afirma que les corbes el·líptiques sobre nombres racionals es relacionen amb formes modulars. En el 1984, Gerhard Frey havia vinculat la conjectura de Fermat amb la conjectura de modularitat. Frey remarca que si hi hagués un triplet per a n > 2, llavors la corba el·líptica y2 = x·(x-an)·(x+bn) tindria propietats tan inusuals que seria improbable que fos modular. Dit d’una altra manera, si queia la conjectura de Fermat, havia de caure també la conjectura de la modularitat. Si hom provés, concloïa Frey, la segona conjectura, també provaria la primera.

La intuició de Frey fou demostrada gràcies als treballs de Jean-Pierre Serre i Ken Ribert (1986). A partir del teorema de Ribet, Wiles treballa durant sis anys gairebé en secret fins a la primera comunicació del 1993.

Wiles recollí el premi instituït per Wolfskehl el 27 de juny del 1997, deu anys i escaig abans que es tanqués la finestra proposada pel guardó.

La feina continua

La demostració de Wiles va obrir noves perspectives en la teoria dels nombres. No obstant, el darrer teorema de Fermat és obert a demostracions que siguin més senzilles que la de Wiles, per bé que no se n’ha publicat cap. Alhora, hi ha esforços per encarar l’equació an = bn + cn amb valors de n no enters, és a dir a estendre la conjectura i el teorema al conjunt de nombres racionals o, fins i tot, al conjunt de nombres reals.

Aquesta entrada ha esta publicada en 1. L'Univers. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *

Aquest lloc utilitza Akismet per reduir el correu brossa. Aprendre com la informació del vostre comentari és processada