Els 4 problemes de Landau sobre nombres primers

Fa cent anys, Edmund Landau, a Cambridge, en el marc del Congrés Internacional de Matemàtiques esmentava quatre problemes vinculats als nombres primers que ell mateix (i molta altra gent) considerava “inatacables en l’estat actual de la ciència”:

1) Hi ha un nombre infinit de nombres primers de la forma n^2+1? Dit d’una altra manera, hi ha algun moment en la línia de nombres reals en els quals un quadrat (n^2) no és seguit d’un nombre primer. És un fet que, a mesura que avancem en la recta real, disminueix la densitat dels nombres primers de la forma n^2+1. Però arriben a desparèixer, a assolir una densitat = 0.

2) Qualsevol nombre natural és la suma de dos (i únicament dos) nombres primers, de forma que es compleix n = p + p’, per a qualsevol nombre natural? Se suposaria que, a mesura que avancem en la recta real, el percentatge de nombres compostos arribaria a un punt en el qual hi hagués nombres compostos que no siguin la suma de dos nombres primers. O, en canvi, la regla es compleix sempre?

3) Es compleix 2 = p – p’ en un nombre infinit de solucions? Dit d’una altra manera, sempre trobarem “parelles” de nombres primers separats únicament per un nombre encara que pugem en l’escala real?

4) Hi ha sempre, si més no, un nombre primer en qualsevol interval entre n^2 i (n+1)^2? En la recta real, els intervals entre n^2 i (n+1)^2 són cada vegada més amples. Però la densitat de nombres primers també cau.

La base dels problemes de Landau és el contrast entre la generació de nombres per addició, i la generació de nombres per multiplicació. Aquest contrast es troba també a la base de problemes vinculats a les seqüències alíquotes i la classificació dels nombres en perfectes, defectius, abundants, segons si són iguals, superiors o inferiors a la suma dels seus respectius divisors exactes. Els problemes vinculats a la representació decimal (o binari, o octal, etc.) dels nombres naturals també comparteixen aquest origen. No és estrany, doncs, que molts problemes que es resisteixen a solució siguin d’aquestes famílies.

En tot cas, abans i després de Landau, hom ha provat d’atacar aquests quatre problemes. Els matemàtics de l’antiguitat feren conjectures que s’expressen novament en els grans matemàtics dels segles XVII i XVIII. Podria semblar que no s’ha avançat gens en el transcurs dels segles, més enllà d’una major claredat en l’exposició. János Pintz, però, fa un repàs històric dels problemes de Landau, que bé pot ésser una bona lectura matemàtica per a aquest estiu.

Aquesta entrada ha esta publicada en 5. La Intel·ligència. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *

Aquest lloc utilitza Akismet per reduir el correu brossa. Aprendre com la informació del vostre comentari és processada