Vint-i-dos setens: una aproximació al número Pi (II)

A efectes de construcció pràctica, Pi s’aproxima a 22/7, és a dir a 3 unitats i una setena. Arquimedes, però, ja va demostrar que era una aproximació. Per determinar el nombre Pi, Arquimedes parteix del fet que els polígons regulars tendeixen, a mesura que augmentar el nombre de costats i d’angles, a aproximar-se a una circumferència. A partir de qualsevol polígon regular convex hom pot definir una circumferència exterior (en la qual se circumscriu el polígon) i una circumferència interior (que s’inscriu en el polígon). Les dues circumferències són concèntriques. La primera passa pels vèrtex del polígon. La segona passa pels punts mitjans de cada costat.

Arquimedes parteix d’un mètode que li permet calcular analíticament el perímetre de polígons regulars de 12, 24, 48 i 96 costats. D’aquesta forma obté que:
– el perímetre d’un polígon de diagonal màxima igual a 9347 és més gran de 29376. Ara bé 29376/9347 i 22/7 es corresponen a les fraccions 205632/65429 i 205634/65429. Si 22/7 fos el valor de Pi, llavors un cercle de 65429 unitats de diàmetre hauria de mesurar exactament 205634 unitats de circumferència. Però això voldria dir que aquest cercle té una circumferència més gran que el perímetre del polígon de 96 costat en el qual es troba inscrita.

Certament Arquimedes no va poder demostrar que Pi és un nombre irracional, per bé que tot assenyalava en aquest punt, en tant que la construcció de polígons regulars circumscrits i inscrits requereix la introducció d’arrels de quadrades de 2 o 3, les quals eren provadament irracionals. La prova de la irracionalitat de Pi no va arribar fins el segle XVIII i encara avui hom treballa per produir proves el més elegants possibles (i per tant comprensibles de la forma més ràpida possible). Similarment, la prova d’Arquimedes, una prova geomètrica-analítica, ha estat superada actualment per d’altres proves més dretureres i amb menys càlcul (però encara menys intuïtives). Un dels reptes permanents és fornir proves el més simples possibles d’aquestes relacions matemàtiques.

http://itech.fgcu.edu/faculty/clindsey/mhf4404/archimedes/archimedes.html

Aquesta entrada ha esta publicada en General. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *

Aquest lloc utilitza Akismet per reduir el correu brossa. Aprendre com la informació del vostre comentari és processada