Vint-i-dos setens: una aproximació al número Pi (I)

Avui som 22 de juliol. La data s’escriu, tot sovint, 22/7. I, com que 22/7 és una fracció que aproxima força el valor de pi (és a dir que un cercle de 7 metres de diàmetre fa uns 22 metres de circumferència), hom ha assignat el dia 22 de juliol com el “dia de l’Aproximació de Pi”.

Fem un càlcul. Assumim, cosa que no és certa, que l’equador del nostre planeta és un cercle perfecte. El seu diàmetre és de 12.756,32 quilòmetres, que assumirem com a exactes, també de forma abusiva. A partir d’aquest diàmetre podríem calcular successivament la circumferència equatorial de la Terra, és a dir la longitud de l’equador:
– Si prenem Pi = 3, ens surt 38268,96 km.
– Si prenem Pi = 3,1, ens surten 39544,59 km. És a dir que hem guanyat més de 1.000 km respecte l’anterior aproximació.
– Si prenem Pi = 3,14, ens apareix 40.054,84 km (més de 500 km que abans). Aquesta aproximació de dues xifres ja és remarcable, i de fet es l’anomenat Dia Pi commemora el 14 de març (3/14 en la forma anglosaxona d’escriure-ho).
– Més habitual, però, en l’escola, és que la quitxalla utilitzi Pi = 3,1416. Això fa 40.075,25 km de circumferència de la Terra, és a dir més de 20 km més que l’aproximació de “3,14”.- El màxim de xifres decimals de Pi que puc recordar és set. Si agafo Pi = 3,1415926, la circumferència passa a a ser de 40075,16 km, és a dir uns 900 metres menys que amb l’aproximació anterior.
– Si prenc Pi tal com l’utilitza el full de càlcul d’Excel, la circumferència queda en el mateix valor.

Això vol dir que per anar amb una mínima precisió ens calen set xifres de l’aproximació decimal de Pi. No obstant, amb l’aproximació de 22/7, ens surt una xifra de circumferència de 40.091,29 km. Aquesta xifra és millor que 3,14, i és tan sols 16 km superior a 3,1416. I és més fàcil de memoritzar 22/7 que 3,1416.

Però si volem una fracció que s’atansi més a Pi, podem recórrer a 355/113. En l’exemple anterior, aquesta fracció ja ens és suficient per a aproximar la circumferència de la Terra a les desenes de metres.

No obstant això, tornem a 22/7. Un cercle de 7 metres exactes de diàmetre té una circumferència de 21,9911486… metres. Si aproximem al mil·límetre, això vol dir que ens faltaran 9 mm (gairebé 1 cm) per arribar al metre. Si per comptes d’això, parlem d’un cercle de 7 mm, la discrepància serà microscòpica (9 micres). Si el cercle és de 7 cm, la discrepància encara és microscòpica (90 micres, però, encara es podria distingir amb una lupa).

Això significa que, a efectes pràctics, 22/7 ja és una bona aproximació gairebé sempre. Entre l’error de mesurar el diàmetre, els errors que cometrem en confeccionar qualsevol cercle i l’error final de mesura de diàmetre, la ballaríem magra si volguéssim veure la diferència entre 22/7 i el número Pi

Imagineu que un aprenent de pitagòric us diu que la relació entre la circumferència i el diàmetre és racional, i que la vint-i-dosena part de la circumferència és exactament igual que la setena part del diàmetre. Vosaltres sabeu que això no és així, que la vint-i-dosena part de la circumferència és més petita que la setena part del diàmetre. Com demostrar-ho sense altres eines que les que podien tenir a l’abast els pitagòrics? (Continuarà…)

Aquesta entrada ha esta publicada en General. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *

Aquest lloc utilitza Akismet per reduir el correu brossa. Aprendre com la informació del vostre comentari és processada