La teoria matemàtica d’ondetes (Yves Meyer, Premi Abel 2017)

Aquests setmana, l’Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres anunciava la concessió del guardó Abel d’enguany a Yves Meyer “pel seu rol central en el desenvolupament de la teoria matemàtica d’ondetes“. El Comitè que ha decidit el guardó el formen John Rognes, Marta Sanz-Solé, Luigi Ambrosio, Marie-France Vignéras i Ben J. Green.

Yves Meyer

Yves Meyer (*París, 19.7.1939) va estudiar al Lycée Carnot de Tunis, on excel·lí en les assignatures de grec i de matemàtiques. Formà part de la promoció de ciències del 1957 de l’École normale supérieure, on tornà a destacar en matemàtiques. La seva carrera docent l’ha fet al Prytanée National Militaire de La Flèche (1960-1963), a l’Université de Strasbourg (1963-1966), a l’Université Paris-Sud (1966-1980), al Centre de mathématiques de l’École polytechnique (1980-1986), al CEREMADE (1985-1995) i a l’École normale supérieure de Cachan (1999-2003).

Meyer treballà inicialment en els nombres de Pisot, amb els quals creà els “conjunts de Meyer”. Per exemple, hom pot construir un conjunt de Meyer a partir de les potències d’exponent enter del nombre phi. Els conjunts de Meyer tenen la propietat d’ésser gairebé periòdics, amb patrons que es repeteixen infinitament per bé que no d’una forma perfectament regular. Aquesta recerca després seria útil per a Daniel Schechtman en la descoberta dels quasicristalls (vg. el comentari que vam fer el 2011 amb motiu del Premi Nobel de Schechtman).

L’interès de Meyer amb les propietats quasiperiòdiques tenia a veure amb les transformacions de Fourier, basades en funcions sinusoidals. En aquest mateix sentit, Meyer treballà amb els operadors integrals singulars.

La teoria d’ondetes

A partir del començament dels 1980 es desplega la teoria matemàtica d’ondetes (“ondelettes” en la literatura francesa, i “wavelets” en l’anglesa) amb les aportacions de Jean Morlet (1931-2007), Alex Grossmann, Ingrid Daubechies i Stéphane Mallat (*1962). En aquest desenvolupament, la matemàtica s’ajudà d’aportacions de la ciència computacional i de la tecnologia de la informació. Morlet i Grossmann eren motivats per l’estudi d’ones sísmiques. Hom explica que Meyer conegué la feina de Morlet i Grossmann en la cua de la fotocopiadora a través d’un article de la primavera del 1984 que un col·lega havia sol·licitat. Meyer s’interessà per l’article en veure la similitud en la teoria matemàtica desenvolupada per Morlet & Grossmann i la que ell mateix tirava endavant.

La teoria matemàtica d’ondetes ha servit a l’anàlisi harmònica. Així ha contribuït a la compressió de dades i la reducció de soroll en multituds d’àmbits: imatgeria mèdica, arxius digitals, cinema digital, tractament de dades astronòmiques, etc. La “revolució de les ondetes” es manifestà especialment devers el 1990 en el tractament d’imatge i àudio.

Les ondetes o onetes són una classe de funcions que permeten localitzar una determinada funció i escalar-la. L’ondeta de Meyer és una ondeta ortogonal infinitament diferenciable i amb suport infinit. A partir de l’ondeta mare es poden formar per translació i contracció ondetes filles. La transformació i la matriu d’ondetes són anàlogues amb la transformació i la matriu de Fourier, però presenten algunes propietats superiors. Així, qualsevol senyal pot descomposar-se en ondetes.

Ondeta de Meyer

La revolució de les ondetes, alhora, ha tingut un impacte notable en l’anàlisi harmònica i en les equacions diferencials parcials, amb el desenvolupament d’eines com la compacticitat compensada, els paraproductes o el càlcul paradiferencial. Aquestes eines s’han aplicat en l’estudi de la turbulència en física de fluids.

Lligams:

The Work of Yves Meyer, de Terence Tao.



Aquesta entrada ha esta publicada en 6. La Civilització. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *