La conjectura de Catalan en l’Hotel Infinit

En l’episodi anterior,
el nostre narrador feia una visita a l’Hotel Infinit. El vam deixar a
la Sala Sant Petersburg, jugant a una loteria eixelebrada.

Després d’haver avalat la continuació del joc amb la meva galàxia
(no recordo ben bé per quina quantitat), vaig tindre la jugada que
havia esperat. Gairebé un miler de vegades seguides va sortir cara. Era
ric, immensament ric. I vaig plegar llavors, per bé que sabia que allò
que havia guanyat no era res comparat amb el que podia raonablement
guanyar. El cas és que no volia que els responsables del casino
arribessin a sospitar per si eventualment tornava a caure en números
rojos per valor de més d’una galàxia. Els podia haver enganyat una
vegada quant al meu estatus a la Via Làctia, però difícilment s’haurien
empassat que posseïa més d’una galàxia.

Vaig tornar a la cambra que ara em corresponia. Amb anades i
tornades, ara em tocava la 302. Havien passat dues hores que ja dormia,
quan em va despertar l’alarma. “Benvolguts hostes”, deien per
l’interfon, “benvolguts hostes. S’han disparat les alarmes d’incendi.
Ens cal desallotjar l’edifici. Si us plau, per fer-ho de forma
ordenada, sumin, si us plau, els divisors propis del nombre de la
vostra cambra, i traslladeu-vos a la cambra corresponent al nombre
d’aquesta suma. Un colp a la nova cambra, facin el mateix, fins arribar
a la cambra 0, des d’on sereu desallotjats”.

A veure. Si era a la 302 havia de comptar els divisors propis de
302. Uf, havia estat de sort. 302 és un semiprimer: es descomposa en 2
· 151. Els seus divisors propis són l’1, el 2 i el 151 (sí, calia
comptar l’1, però no el 302). La suma donava 154. M’hi vaig traslladar
a la cambra 154. En repetir l’operació (154 = 2 · 7 · 11) la suma de
divisors propis (1+2+7+11+14+22+77) era 134. De la 134 vaig passar a la
70. De la 70 vaig pujar a la 74, i després, succesivament, vaig passar
per la 40, la 50 i la 43. “A la fi en una cambra de nombre primer”, em
vaig dir. Això volia dir que, com que l’únic divisor propi de 43 és 1,
m’havia de traslladar a la cambra 1. De la cambra 1, com que l’1 no té
divisors propis, vaig passar a la cambra 0. I, des d’allà, amb un
nombre certament infinit d’altres hostes, vaig ser evacuat.

En passar per recepció, vaig sentir com escridassaven al
recepcionista un grup d’hostes. Li recriminaven haver fet servir les
sèries alíquotes per tal de treure els hostes de l’hotel.

“Un meu amic era a la cambra 6”, senyor recepcionista. “Doncs bé, 6
té tres divisors propis, l’1, el 2 i el 3. 1 + 2 + 3 fan 6. El meu amic
anirà de la cambra 6 a la cambra 6 eternament. No s’hi mourà mai”.

“I li farà companyia el meu fill, que era a la cambra 25”,
interrompia una altra. “La suma de divisors propis de 25 és 6. Així que
ell ha anat a la cambra 6 i hi ha quedat atrapat”.

Les queixes continuaven. Hi havia hostes atrapats a les cambres
perfectes, com ara la 6, la 28, etc. D’altres havien quedat atrapats en
un cicle. Això els havia passat als hostes de la 220 i de la 284. Quan
el de la 220 passava a la 284 d’acord amb les instruccions, es creuava
amb el de la 284, que passava a la 220, d’acord amb les mateixes
instruccions. N’hi havia també cicles de 5 cambres (12496, 14288,
15472, 14536, 14264, 12496, 14288, 15472, 14536, 14264, etc., etc.,
etc.).

“No es preocupin, si us plau”, intervingué el gerent. “Hem
identificat aquestes cambres perfectes [la 6, 28, 496, 8128, etc.],
amigables [la 220 i la 284, la 1184 i la 1210, la 2620 i la 2924, etc.]
i sociables. Els hostes que hi són rebran noves instruccions i baixaran
de seguida a recepció. A mesura que identifiquem noves cambres
sociables repetirem aquesta mateixa operació”.

Hi havia, però, una qüestió. Identificar els nombres perfectes i
amigables era fàcil. Però, i els nombres sociables. Si bé podien
haver-hi grups de 4 o 5, o de desenes de nombres sociables, també hi
podien haver grups molt més grossos. Qui ens deia que no hi havia
“cicles” d’un nombre infinit d’elements i que, per tant, no fossin
cicles? Quan vam veure que els hostes que originàriament eren a les
cambres 276, 552, 564, 966, etc., vam començar a sospitar si no els
havíem perdut per sempre.

”Conjecturo”, continuava el gerent sense convicció, “que, tard o
d’hora arribaran al nombre 0 pel seu propi peu o entraran en una de les
cambres que havíem identificat com a perfectes, amigables o socials.
N’hi ha prou que algun d’aquests hostes torni a una cambra per on ja hi
hagi passat abans perquè la identifiquem com a cambra sociable i en fem
baixar des d’allà a recepció tots els que hi passin”.

Lligams:

Nombres perfectes i amics (Ramon Capsada).

Aliquot sequences (MathWorld).

Aliquot Seiten und Westsahara.
Dues coses fascinen Wolfgang Creyaufmüller: el Sàhara Occidental i les
seqüències alíquotes de les quals no s’han ha determinat ni el final ni
el període (únic en el cas de finals en nombre perfecte; doble en el
cas de finals en nombres amigables; múltiple en el cas de finals en
nombres socials).

Aquesta entrada ha esta publicada en General. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *