La teoria de grups (Thompson i Tits, Premi Abel, 2008)

La teoria de grups (Thompson i Tits, Premi Abel, 2008)
Matemàtiques: Fa uns dies es comunicà la concessió del Premi Abel a John Griggs Thompson i Jacques Tits, per les seves contribucions en la teoria de grups.

John Griggs Thompson

John Griggs Thompson (*Ottawa, Kansas, 13.10.1932).

Graduat en matemàtiques a Yale (1955) i doctorat a la University of Chicago (1959) sota la direcció de Saunders Mac Lane
(1909-2005), Thompson ha desenvolupat la seva carrera professional a la
University of Chicago (1959-70), a Cambridge (a partir del 1970) i a la
University of Florida (on és encara actiu).

Entre les contribucions més destacades de Thompson, hi ha la
demostració de teoremes que posaren les bases per una classificació
completa dels grups simples finits, assolida ara fa vint-i-cinc anys.
Ja el 1970 Thompson havia rebut la Medalla Fields.

Jacques Tits

Jacques Tits (*12.8.1930, Uccle, Brussel·les) ha estat professor a
la Universitat Lliure de Brussel·les (1962-64), a la Universitat de
Bonn (1964-74) i al Col·legi de França de París (1974-2000).

La perspectiva de Tits en la teoria de grups, ha estat el tractament
dels grups com a objectes geomètrics. Així va introduir la teoria de
construccions, estructures combinatòries a través de les quals actuen
els grups. El 1993 va rebre el Premi Wolf de Matemàtiques.

La teoria moderna de grups

La teoria de grups ha estat denominada la "ciència de les simetries", amb aplicacions geomètriques i analítiques. És a partir de l’obra d’Évariste Galois
(1811-1832), que comença la història contemporània de la teoria de
grups. Per a Galois, els objectes simètrics complexos es poden
descompondre en objectes simètrics fonamentals o indivisibles. Aquests
objectes simètrics indivisibles són els que reben la denominació de "grups simples".
La tasca fonamental de la teoria de grups havia d’ésser la determinació
i classificació dels grups simples, és a dir la seva sistematització.

Un exemple de descomposició en grups simples, és l’anàlisi de la
simetria del polígon regular de 15 costats (pentadecàgon), que es pot
descompondre en l’anàlisi combinada de la simetria d’un triangle i d’un
pentàgon (3 x 5 =15). En els casos dels polígons regulars la
descomposició simètrica coincideix amb la descomposició factorial del
nombre de costats.

Un dels teoremes fonamentals de la teoria de grups és que, a partir
de les simetries d’aquestes formes simples (per exemple, els polígons
regulars amb un nombre primer de costats: triangle, pentàgons,
heptàgon, undecàgon, tridecàgon, etc.), es poden analitzar les
simetries de formes complexes. Concretament, el teorema d’ordre imparell,
afirma que si un objecte té un nombre imparell de simetries llavors
aquestes simetries es poden descompondre en simetries basades en
nombres primeres. La demostració d’aquest teorema arriba el 1963, de la
ma de John Griggs Thompson i Walter Feit (1930-2004).

La descomposició d’objectes amb un nombre parell de simetries no es
pot fer en alguns casos d’acord amb el teorema esmentat. És el cas de
la pilota de futbol, que es fabrica a partir de pedaços hexagonals i
pentagonals, i que presenta 60 simetries rotacionals. La descomposició
factoral de 60 és 22·3·5. No obstant, ja Galois havia
demostrat que la simetria d’aquest cos polièdric és indivisible. Amb el
temps, hom trobaria també moltes altres grups simples no basats en
nombres primers. Aquests grups simples es corresponen a policorons com el tesseract o hipercub (l’anàleg tetradimensional del cub tridimensional). Cap als anys 1870, Sophus Lie (1842-99) va estudiar aquesta mena de grups simples, i d’ací que rebin el nom de grups de Lie.

En total s’han descrit 16 famílies de grups de Lie. Jacques Tits ha
emprat la geometria multidimensional per tal de sistematitzar-les.

Però tampoc no s’esgoten amb els grups de Lie tots els grups simples. Hi quedaven fora cinc formes simètriques descobertes per Émile Mathieu (1835-1890). Calia sumar, a més, un sisè grup simple despenjat, descobert per Zvonimir Janko
el 1965. En els anys següents la llista de grups simples no
classificats es va fer més i més extensa. Les fórmules
sistematitzadores de Thompson semblaven servir, justament, per
descobrir simplement nous grups simples que no es podien classificar en
els esquemes abans descrits.

De tots aquests grups simples esporàdics, el que feia 26, va rebre el malnom de "monstre".
Es tracta d’una figura construïble en un espai de 196.883 dimensions,
amb un nombre total de simetries de
808017424794512875886459904961710757005754368000000000 (8·1053). En un espai de gairebé trenta anys, que culmina vers el 1983, Thompson, Tits i d’altres investigadors han sistematitzat aquests 26 grups simples finits addicionals. Si els seus teoremes resulten correctes, no cal esperar noves descobertes de grups simples finits.

El premi Abel

El premi Abel existeix des del 2002, quan es creà el Fons Memorial
Niels Henrik Abel. Constitueix un dels principals premis matemátics. El
concedeix l’Acadèmia de Ciències i Lletres de Noruega (Det Norske
Videnskaps-Akademi), ajudada d’un comitè internacional de cinc
matemàtics. En mots d’Ole Didrik Lærum, president de l’acadèmia,
Thompson i Tits han rebut el premi "per importants assoliments en àlgebra i, en particular, per donar forma a la moderna teoria de grups". Segons la valoració del comitè, els treballs de Thompson i Tits "es complementen mútuament i constitueixen plegats l’espinada de la moderna teoria de grups.

La dotació del premi és en l’actualitat de 6 milions de corones
noruegues (aproximadament, 750.000 €). La cerimònia de lliurament
tindrà lloc el proper 20 de maig a Oslo, i serà el rei Harald de
Noruega qui presentarà el guardó a Thompson i Tits.

Lligams:

Thompson and Tits win the Abel Prize 2008, de Marcus du Sautoy

Altres posts:

La teoria del tot d’A. Garrett Lisi es basa en un grup de Lie E8.

Aquesta entrada ha esta publicada en General. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *

Aquest lloc utilitza Akismet per reduir el correu brossa. Aprendre com la informació del vostre comentari és processada