Per què l’infinit no és un nombre real?

Encara recordo la meva entrada al vestíbul de l’Hotel Hilbert. No era
gaire impressionant, malgrat que m’havien dit que es tractava de
l’hotel més gran de l’univers. De fet tots els altres hotels, per grans
que siguin, tenen un nombre finit de cambres. No era el cas de l’Hotel
Hilbert: el nombre de cambres era infinit. Quina no seria la meva
sorpresa quan vaig veure penjat a recepció un cartell que deia: "Totes
les cambres són ocupades".

Ja era a punt de girar cua, quan una veu va sortir de la saleta
contígua al taulell de recepció. "Us puc servir en alguna cosa,
senyor?". "Bé, cercava allotjament…", vaig respondre al
recepcionista, que tot seguit em va oferir un formulari de registre,
"…però ja he vist el ròtul de complet". "Sí, efectivament, l’ocupació
de l’hotel és del 100%, si m’ho permeteu". En veure’m la decepció al
rostre, continuà, "però no us amoïneu, que ja us farem lloc".

M’allargà una de les claus electròniques de l’Hotel. Hi ficava el
número 0. "La cambra 0, quin honor!", vaig dir amb un to un poc plaga.
"No ben bé, senyor… Espereu que ajusti les dades a la
computadora…". El número 0 canvià a número 1. "No hi ha cap cambra
0", em va aclarir, "la seva cambra és la número 1". "Com és possible?
Que no era ocupada la cambra número 1". "Sí que ho era, i per aquest
motiu des de recepció hem demanat a l’ocupant de la cambra número 1 que
es traslladi a la 2". "I l’ocupant de la 2?". "Al de la 3", em va
aclarir amb un posat de certa suficiència, "i així successivament, he
demanat a tots els hostes que es traslladin a la cambra següent".

Vaig entendre que era així com en un hotel infinit, tot i amb plena
ocupació, poden acollir un nombre finit de nous hostes. Una mica
confós, és clar, em vaig retirar a la meva cambra. Després de reposar
una estona vaig tornar al vestíbul, a llegir la premsa.

Vaig topar casualment amb el diari de la meva ciutat. Es tractava
d’una edició especial, però era efectivament l’edició del dia que tot
just acabàvem. Gran part del diari, de la pàgina 10 a la 20, anava
dedicat a valorar les destrosses produïdes pels aiguats del cap de
setmana. En la pàgina 12 vaig trobar detallades les malvestats
esdevingudes al meu barri. Entre la pàgina 12 i la 13, però vaig trobar
una pàgina 12.5 que aclaria amb profusió la seqüència de fets
corresponents al meu carrer. I entre la pàgina 12.5 i la 13, n’hi havia
una altra que parlava de casa meva. Vaig llegir, encara, una tercera
pàgina que em tranquil·litzà en relatar que no hi havia hagut cap
desgràcia personal i que l’estructura de la casa restava indemne. En
una quarta pàgina, però, que tampoc no era la 13, m’explicaven les
pèrdues irreparables escaigudes en l’hort; en la cinquena el periodista
explicava que el vent havia tombat un dels arbres; en la sisena
s’incloïa un gràfic sobre la seqüència de la caiguda d’aquest arbre; i
en la setena es feia una retrospectiva de l’arbre en qüestió, amb
citacions literals del diari que duia el meu avi, qui fou qui el
plantà. Una mica desencoratjat, vaig saltar les pàgines següents que
seguien a aquella, i em vaig plantar en el pàgina 13.

Em disposava a tafanejar la informació sobre les destrosses
produïdes en les cases corresponents a les pàgines entre la 13 i la 14,
quan el vestíbul s’omplí de brogit. Acabava d’entrar un autocar de
turistes. No era un autocar qualsevol, sinó un de la sèrie ‘Infinitud’,
amb un nombre infinit de places. Vaig parar l’orella per saber com
resoldria aquesta situació el nostre recepcionista, ja que,
efectivament, l’autocar havia descarregat un nombre infinit de persones.

Gairebé immediatament, va aparèixer un missatge en la meva clau.
"Benvolgut client, ens sap greu informar-vos que, per motius
d’organització, haurà de canviar de cambra, tot passant de la 1 a la
2". I el número de la clau, efectivament, passà d’1 a 2. Vaig tèmer que
tot seguit m’enviarien un altre missatge per traslladar-me de la 2 a la
3, i així successivament. Però no fou així.

Quan es buidà el vestíbul i tots els nouvinguts havien pujat a les
cambres respectives, em vaig adreçar a recepció. "Disculpeu, puc
entendre que un hotel d’infinites cambres, tot i que les tingui
ocupades totes, pot acollir sense problemes un nombre finit de nous
hostes, tot desplaçant les cambres d’una en una, o de mil en mil, o
d’un milió en un milió. Però com us ho heu fet per encabir un nombre
infinit de nouvinguts". "Molt senzill, senyor meu. En el cas d’un
nombre finit de nous hostes, simplement sumem per cada hoste previ el
seu nombre inicial de cambra pel nombre finit de nous hostes. Quan vós
vau arribar, vaig sumar 1 al número de cambra de tots els hostes
registrats. Si haguéssiu estat un grup d’1.000.000 hauria sumat
1.000.000. Si arriba, però, un autocar amb un nombre infinit de
turistes, no tinc més remei que multiplicar per comptes de sumar".

Era així, doncs, com ho feia. L’hoste de la cambra 1 (jo) havia de
passar a la 2. El de la 2 passava a la 4, el de la 3 a la 6, el de 4 a
la 8, i així quedava lliure un nombre infinit de cambres. Efectivament,
els arribats en l’autocar havien ocupat totes les cambres senars de
l’hotel.

Encara hi donava voltes, quan de nou se sentia remor a l’aparcament
de fora. Vaig sortir fora. Un nombre infinit d’autocars infinits
s’havia presentat. El recepcionista també havia sortit per
organitzar-ho tot. Vaig veure com la clau tornava a enviar-me el
missatge de "trasllat": ara passaria de la cambra 2 a la cambra 4.
Totes les cambres senars, doncs, havien quedat de nou momentàniament
buides. Als infinits passatgers del primer autocar els hi van
correspondre les cambres de la sèrie 3n, és a dir la 3, la 9, la 27, la 81, etc. Als del segon autocar els hi tocaren les cambres de la sèrie 5n (5, 25, 125, 625, etc.), als del tercer les de la 7n (7, 49, 343, 2401, etc.), i després 11n, 13n, 17n,
etc. Com que el nombre de nombres primers és infinit, el nombre infinit
de passatgers d’infinits d’autocars fou acollit sense problemes. I com
que cada nombre primer no pot ésser potència de cap base que no sigui
ell mateix, ningú no va anar a petar a una cambra ja ocupada.

Quan vaig veure entrar els passatgers de l’autocar número 5000, i
com ocupaven les cambres 48.611, 2.363.029.321, etc., vaig trobar que
m’avorria una mica, i vaig decidir voltar per l’Hotel. Vaig donar una
ullada a la biblioteca. Ningú no em va especificar si era o no era
infinita. Però tots els volums eren d’un format idèntic: 410 pàgines,
40 línies a cada pàgina i 80 caràcters a cada línia. Com que, en total,
els llibres únicament gastaven 25 caràcters (les 22 lletres bàsiques,
la coma, el punt i l’espai), era d’esperar que el nombre de llibres fos
finit: 251.312.000. Bastant gran, certament, però si la biblioteca fos certament infinita, i cadascun d’aquestes 251.312.000
combinacions donés lloc a un nombre infinit d’exemplars idèntics,
llavors un nombre infinit d’hostes de l’Hotel llegiria exactament el
mateix llibre. Això, és clar, suposant que hi hagués algú interessat a
llegir-los. Dels que vaig fullejar no vaig veure que una suma caòtica
de caràcters sense cap ni peus.

En certa manera, la premsa del vestíbul i la biblioteca quedaven
efectivament empetitides per la magnitud de l’hotel. La premsa del
vestíbul podia explicar els particulars del més ínfim moviment
subatòmic d’un lloc i d’un dia concret: però per a un dia i un lloc
concret el nombre de partícules subatòmiques és finit. Si hagués passat
el nombre arbitràriament gran de pàgines que em quedaven per arribar a
la pàgina 13 sense saltar-me’n cap, m’hauria adonat de la rellevància
dels detalls successius. Allò que per a mi era un arbre del meu jardí
eren literalment trilions de cèl·lules vegetals, i cada cèl·lula
vegetal amagava quatrilions o cinquilions de molècules, agrupades en
desenes o centenars de milers d’espècies químiques diferents, i
cadascuna implicada en una multitud d’interaccions. A la Biblioteca
hauria trobat, certament, tractats en potser 50 volums que
m’expliquessin en detall i en la meva llengua cadascuna d’aquestes
interaccions moleculars. Però, a diferència de la premsa del vestíbul,
la Biblioteca era el més pur desordre.

Amb un cert desànim per la meva finitud i per la concreció de la
meva ment, vaig passar a la Sala Petersburg, que acollia el Casino de
l’hotel. Em vaig adreçar a una de les màquines, disposat a gastar unes
quantes monedes que duia a la butxaca. Però això era del tot
insuficient per la Sala Petersburg. "Preu d’inici: 25 €". Vaig fer mà,
doncs, de la targeta i em vaig disposar a iniciar una partida. "Normes
del joc: la màquina llençarà una moneda d’1 €. Si surt creu haureu
perdut. Si surt cara us quedareu la moneda, i la màquina continuarà el
joc amb una altra". La probabilitat de guanyar 1 € era doncs del 50%,
la de guanyar 2 € era del 25%, la de guanyar 4 € un 12,5%, etc. No cal
dir que em vaig enganxar al joc. I em vaig quedar, al principi, ben
escurat. Però, amb el temps, ja m’havia rescabalat, i la promesa de
guany infinit ja em sembla a hores d’ara a l’abast de la mà.

Lligams:

Welcome to the Hotel Infinity!

Petersburg Paradox

La biblioteca de Babel, de Jorge Luís Borges.

Die Universalbibliothek, von Kurd Laßwitz.

El Libro de Arena, de Jorge Luis Borges.

L’Infini-rien de Pascal o el capitalisme metafísic de la pascaline, de Josep Perelló (Mètode).

Aquesta entrada ha esta publicada en General. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *

Aquest lloc utilitza Akismet per reduir el correu brossa. Aprendre com la informació del vostre comentari és processada