La connexió de la teoria de representació i de les formes automòrfiques en l’estudi dels grups de Galois (Robert P. Langlands, Premi Abel 2018)

Aquesta setmana commemorem el 250è aniversari del naixement de Joseph Fourier (*Auxerre, 21.3.1768 – m. París, 16.5.1830), i el dilluns es feia pública la concessió del Premi Abel d’enguany. El Premi Abel du aquest nom en memòria de Niels Henrik Abel (*Nedstrand, 5.8.1802 – m.Froland, 6.4.1829). L’Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres, doncs, comunicava dilluns que concedia el guardó a Robert P. Langlands, de l’Institute for Advanced Study de Princeton, “pel seu programa visionari de connectar la teoria de representació amb la teoria de nombres“. En efecte, fa més de 50 anys, es formulava el Programa de Langlands, que pretenia relacionar els grups de Galois de la teoria algebraica de nombres amb les formes automòrfiques i la teoria de representació de grups algebraics sobre camps locals i adèles.

Robert P. Langlands

Robert Phelan Langlands

Robert P. Langlands (*New Westminster, British Columbia, 6.10.1936) va ingressar a la University of British Columbia a l’edat de 16 anys. Llicenciat el 1957 per aquesta universitat, l’any següent finalitzà el seu mestratge. Passà a la Yale University, on va fer la tesi doctoral sota la supervisió de Cassius Ionescu-Tulcea. Inicialment aquesta tesi havia d’anar sobre la teoria analítica dels semigrups de Lie. Els grups de Lie reben aquest nom per Sophus Lie (*Nordfjordeid, 17.12.1842 – m. Kristiania, 18.2.1899), fundador de la teoria de grups de transformació continus. Langlands, però, passà aviat a la teoria de representació, és a dir a l’estudi d’estructures algebraiques abstractes a través de representar-ne els elements com a transformacions lineals d’espais vectorials. En aquest sentit, Langlands adaptà els mètodes desenvolupats per Harish-Chandra (*Kanpur, 11.10.1923 – m.Princeton, 16.10.1983) per a la teoria de formes automòrfiques. Les formes automòrfiques són funcions de grups topològics damunt de nombres complexos que són invariants sota l’acció d’un subgrup discret. Langlands presentà una fórmula de la dimensió de certs espais de formes automòrfiques en la qual apareixien tipus particulars de les sèries discretes de Harish-Chandra.

Langlands seguí amb una teoria analítica de les sèries d’Eisenstein per a grups reductius de rangs superiors a 1. Això permeté la descripció en termes generals dels espectres continus de quocients aritmètics. Totes les formes automòrfiques es podien derivar en termes de formes de cúspides i de residus de sèries d’Eisenstein induïdes de formes de cúspide se subgrups més petits. A partir d’això demostrava la conjectura de Weil sobre nombres de Tamagawa per a la gran classe de grups de Chevalley connectats de forma arbitràriament simple sobre els nombres racionals.

El Programa de Langlands

El gener del 1967, Robert P. Langlands era professor associat a Princeton. Durant les vacances de Nadal escrigué una lletra de 17 pàgines a André Weil (*París, 6.5.1906 – m.Princeton, 6.8.1998), l’autor de la conjectura abans citada. La lletra incloïa una referència modesta:

Si voleu llegir-ho com a especulació pura ho apreciaré. Si no – estic segur que teniu una paperera a mà

Hi seguia una teoria sobre les connexions profundes entre la teoria de nombres i l’anàlisi harmònica. El Programa de Langlands enumerava les passes a seguir per mostra l’existència de les connexions, respectivament, dels grups de Galois i de les formes automòrfiques.

El 1830, Évarist Galois (*Bourg-la-Reine, 25.10.1811 – m. París, 31.5.1832) presentà a l’Acadèmia de Ciències de París una memòria amb una teoria sobre la resolubilitat mitjançant radicals d’equacions polinòmiques (Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux). La memòria no fou acceptada per a publicació al·legant que no era prou desenvolupada i per estat condicionada a les solucions de l’equació per comptes dels coeficients. El mateix Galois es va morir en un duel a 20 anys. Fou Joseph Liouville (*Saint-Omer, 24.3.1809 – m. París, 8.9.1882) qui recuperà l’obra de Galois, sobre la qual parlà en una conferència a l’Acadèmia el 4 de juliol del 1843. La memòria mateixa, completada per Galois mesos abans de la mort, fou publicada per Liouville el 1846 amb plena consciència del que suposava per a la teoria de nombres. Les taules de les relacions simètriques entre les solucions d’equacions polinòmiques serviren per definir els anomenats grups de Galois.

L’anàlisi harmònica estudia les ones periòdiques a partir de l’ona sinusoidal. Si la transformació de Fourier permet l’anàlisi de les ones complexes, les formes automòrfiques generalitzen topològicament les funcions periòdiques, trigonomètriques i el·líptiques. La introducció de les formes automòrfiques es deu a Jules Henri Poincaré (*Nancy, 29.4.1854 – m.París, 17.7.1912).

Per trobar les connexions entre les formes automòrfiques i els grups de Galois, el Programa de Langlands partia de l’aritmètica modular. A Disquisitiones Arithmeticae (1801) Carl Friedrich Gauss (*Brunswick, 30.4.1777 – m. Göttingen, 23.2.1855) havia establert una teoria de l’aritmètica modular que tenia com a teorema fonamental la llei de reciprocitat quadràtica. El Programa de Langlands es fixava en l’aritmètica modular aplicada a la resolubilitat de les corbes el·líptiques (equació polinòmica y2 = x3 + ax + b) quan es prenia com a mòdul un nombre primer. La sèrie numèrica resultant també resultava accessible amb les eines de l’anàlisi harmònica.

El Programa Langlands trobà una expressió més definida al llibre Problems in the Theory of Automorphic Forms (1970). Ja fa, doncs, mig segle que el Programa inicià les passes. Les conjectures formulades pel Programa han estat matèria d’intensa recerca, per part de Langlands, i d’alguns dels seus deixebles, destacadament Diana Shelstad (*Sydney, 19.8.1947). Laurent Lafforgue (*Antony, 6.11.1966) demostrà la correspondència de Langlands per als grups lineals plens GLr (r≥1) sobre funcions de camp. Ngô Bảo Châu (*Hanoi, 28.6.1972) demostrà el lemma fonamental per a les formes automòrfiques de Langlands i Shelstad. Però encara queden moltes conjectures del Programa per demostrar, per bé que plausiblement hagin d’ésser certes. Edward Frenkel (*Kolomna, 2.5.1968) s’ha referit al Programa de Langlands com una mena de gran teoria unificada de la matemàtica. Hom confia que el programa forneixi noves vies per resoldre problemes, particularment de la teoria de nombres, que semblen inabastables.

Don Zagier (*Heidelberg, 29.6.1951) ha dit, referint-se als nombres primers:

Hi ha dos fets sobre la distribució de nombres primers que haurien de quedar-nos gravats permanentment al cor. La primera és que, malgrat una definició i paper simples com a elements constituents dels nombres naturals, els nombres primers creixen com males herbes entre els nombres naturals, sense obeir cap altra llei que la de l’aleatorietat, i ningú no pot predir on brollarà el següent. El segon fet és encara més astorador, ja que afirma exactament el contrari: que els nombres primers mostren una regularitat colpidora, que hi ha lleis que en governen el comportament, i que obeeixen aquestes lleis amb una precisió gairebé militar.

El contrast entre la impredictibilitat de molts aspectes de la teoria de nombres i la simetria i regularitat de formes automòrfiques explica precisament perquè després de mig segle el Programa de Langlands té encara tants fronts oberts.

Lligams:

The Work of Robert Langlands. Institute for Advanced Study.

Robert P. Langlands receives the Abel Prize.

A glimpse of the Laureate’s work, d’Alex Bellos.

Aquesta entrada ha esta publicada en 1. L'Univers. Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *